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MODELO DE BLACK & SCHOLES

Existem vários modelos para precificação de opções: árvores binomiais, árvores trinomiais, métodos de diferenças finitas e outros procedimentos numéricos interativos. No entanto, o modelo de Black & Scholes é considerado o mais simples.

Em 1900, Bachelier ensaiava o uso da estatística clássica na área de precificação de opções. Seu trabalho foi retomado por Sprenkle e Boness entre os anos de 1960 e 1963, e aperfeiçoado por Samuelson em 1965.

Foi somente em 1973, no entanto, que Fischer Black e Myron Scholes publicaram a primeira solução para a fórmula de equilíbrio geral na avaliação do prêmio de opções. Black e Scholes usaram um instrumental matemático sofisticado para a construção de sua fórmula.

No livro "Opções: do tradicional ao exótico" de Lauro de Araújo Silva Neto é apresentado um conceito básico do modelo.

O modelo de Black & Scholes consiste em equações que visam obter o preço justo das opções envolvendo as seguintes variáveis: valor do ativo-objeto, preço de exercício da opção, taxa de juros, tempo até o vencimento e volatilidade.

A principal hipótese do modelo é a de que os preços do ativo seguem uma distribuição log-normal, ou seja, a distribuição probabilística dos retornos do ativo em uma data futura, calculados de forma contínua e composta a partir dos seus preços, é normal.

A fórmula de Black & Scholes para a avaliação do prêmio de opções do tipo europeu sobre ativos que não distribuam dividendos é:

Para a call:

Para a put:

onde:

C = valor téorico de uma call

P = valor teórico de uma put

S = preço do ativo-objeto

E = preço de exercício da opção

t = tempo até o vencimento

v = volatilidade expressa na forma decimal

r = taxa de retorno "sem risco" (capitalização contínua)

e= base dos logaritmos naturais = 2,718282...

ln = logaritmo natural

N(x) = função cumulativa normal

Bibliografia:
[1] Neto, Lauro de Araújo Silva. Opções do Tradicional ao Exótico. BM&F. Atlas.
[2] Figueiredo, Antonio Carlos. Introdução aos Derivativos. Thomson.